Akıl Oyunları filmini hepiniz duymuşsunuzdur. Filmin konusu Amerikalı matematikçi John Nash’in hayatı ve geliştirdiği Oyun Teorisi’dir. Bugün teorisi ile hayatımıza farklı bir bakış açısı katmış olan John Nash’i ve Oyun Teorisini anlatmaya çalışacağım.
John Forbes Nash 13 Haziran 1928 yılında Amerika’da dünyaya gelen Nash kimya ve özellikle matematik alanında çalışmalar yaparak adını dünyaya duyurmuştur. Şizofren kişiliği ile bilinen John Nash üniversitede çalışırken arkadaşlarına kendisine başka bir galaksiden rakamlardan oluşan bir mesaj geldiğini söyledi ancak insanlar uzun bir zaman bunun bir şaka olduğunu düşündüler.
Şaka yaptığı düşünülen zamanlarda Nash’e şizofreni tanısı konuldu. Tedavi gördüğü hastanede 25 yıl boyunca John Nash durmadan halüsinasyonlar görmekteydi ve bu yüzden matematiği bırakmak zorunda kaldı. Nash bu süre zarfında görmüş olduğu tüm rakamların kendisine farklı bir galaksiden gönderilmiş olduğunu düşündüğü şifreler olduğuna inanıyordu. Hasta olduğu zamanlarda Avrupa ve Amerika’ya seyahatler yapan matematikçi karmaşık bilgisayar programları yazmayı öğrendi.
1990’lı yıllarda İtalyan matematikçi Bombieri ile iletişim kurarak matematik alanında yeniden çalışmalar yapmaya başladı ve iyileşmeye başladı. Matematik ona iyi geliyordu.
1994 yılında katıldığı bir matematik seminerinde eskiden beri arkadaşı olan matematik profesörü Harold Kuhn ona önemli bir haber getirdi. 1944 yılında Morgensternen ve Neiman’ın Oyun Teorisini, 45 yıl öncesinde Nash geliştirmiştir ve bu durum ona Nobel ödülünü kazandırmıştı. Oyun Teorisi “oyun esnasında bireyin içinde bulunduğu şartlara en uygun kararı vermesini” sağlıyordu. 2008 yılında Akıl Oyunları filmine konu olmuştur. Nash 2015 yılında aramızdan ayrıldı. Şimdi ise yapmış olduğu çalışmalar ile matematiğe ışık tutan John Nash’in geliştirmiş olduğu Oyun Teorisini inceleyelim.
Kıt kaynaklara sahip olunan bir durumda amaçlarını gerçekleştirmeye çalışan karar vericiler rekabet halindedirler. Bu karar vericiler oyuncular olarak nitelendirirler. Oyuncuların amaçları kazançlarını maksimize etmektir. Oyun teorisinin asıl amacı ise tam olarak bununla ilgilidir. Oyuncuların sahip oldukları stratejileri matematiksel olarak modellemek ve çözmektir.
Oyun teorisindeki terimler ise şu şekilde sıralanabilir.
*Oyuncular
*Stratejiler
*Kazanç ve kayıp matrisleri
Matrisler oyuncuların strateji seçimlerinin sonucunda ortaya çıkan kazanç ve kayıpları gösterir. Rakipler satır ve sütunlara yerleştirilir. Satırlara yerleştirilen oyuncu oyunun sahibi olarak nitelendirilir. Çözümlemeler genelikle satır kısmında yer alan oyuncu için yapılır.
Bu matrisi yorumlayacak olursak A ve B iki rakip oyuncudur ve aynı zamanda A 2, B ise 4 farklı stratejiye sahiptir diyebiliriz. Matrisimizin kazanç matrisi olduğunu düşünürsek A oyuncusunun bazı durumlarda negatif puanlara sahip olması puan kaybettiğinin göstergesidir.
Oyun teorisinde farklı çözüm stratejileri mevcuttur.
1-) 0 TOPLAMLI OYUNLARIN ÇÖZÜMÜ
Bu tarz oyunların sonucunda bir taraf kazanırken, diğer taraf kaybedecektir. Bu kazanç ve kayıpların birbirine eşit olması durumu 0 toplamlı oyunları doğurmuştur. Bunu bir örnek ile anlamaya çalışalım. A ve B takımları birbirlerine rakip olan iki farklı takımdır. A takımı 3 farklı, B takımı ise 4 farklı oyun stratejisine sahip olsun. Kazanç ve kayıp matrisimiz;
Örneğin A oyuncusu 1. stratejisini kullanıyor ve B ise buna 4. stratejisi ile karşılık veriyor ise A1 ve B4’ün kesimindeki matris elemanımıza bakarız. -3 bize A oyuncusunun 3 puan kaybettiğini gösterir. Matrisimizi B oyuncusu için yorumlamak istediğimizde matris elemanlarımızı – ile çarpmamız gerekir. Çünkü A’nın kazandığı oyunları B oyuncusu kaybedecektir.
Sorumuz A oyuncusu hangi stratejisi ile maksimum kazancını sağlar? Bu demek oluyor B’nin kaybı nasıl minimize edilir?
A oyuncusu için her stratejide kazanacağı minimum puanları bulalım.
MİN A1= -3, MİN A2=5, MİN A3=-9
B Oyuncusu için ise kaybedeceği maksimum puanları bulalım.( Matrisi -ile çarpmayı unutmayalım.)
Min B1=(-) 8, MİN B2= (-), MİN B3 (-9)
Bu kriterlere göre A oyuncusu a2 stratejisi ile en çok 5 puan kazanırken, B oyuncusu ise min. kaybını b2 stratejisini kullanarak elde eder. B’nin min. kaybının -5, A’nın max. kazancının 5 olması bize bu oyunun 0 toplamlı bir oyun olduğunu gösterir ve oyunun değeri “5”‘tir.
2-) KARMA STRATEJİLİ OYUNLAR
Karma stratejili oyunlar bir oyuncunun 2 farklı stratejisi varken bu stratejileri kullanma olasılıklarının eşit olmadığı oyunlardır.
Kazanç ve kayıp matrisi:
A1 satırının solunda yazılan x1 A1 straejisinin gerçekleşme olasılığıdır. (1- x1) ise 2 olayın gerçekleşme durumunun 1’e eşit olmasından gelir. Bu durumda A oyuncusunun beklenen kazançlarını şu şekilde hesaplarız.
x1*A1B1+(1-x1)*A2B1 ” Bu bize B oyuncusunun 1. stratejisi karşısında A’nın beklenen kazancını verir. Beklenen kazançlar sırası ile:
- STRATEJİ KAZANCI: -2×1+4
- ” ” :-x1+3
- :x1+2
- :-7×1+6
Şimdiki aşamada x1’in hangi değerinin bize en iyi sonucu vereceğini hesaplayacağız. Bunu yaparken A1 ve A2 de max. kazançları bulmamız gerekiyor. Matristen göreceğimiz üzere A1 stratejisi en büyük kazancını B3 karşısında elde eder. A2 stratejisi ise en büyük kazancını B4 karşısında elde eder. Bu nedenle 3 ve 4 numaralı denklemleri çözümlememiz gerekir.
x1+2=-7×1+6
Bu denklemleri çözümlediğimizde x1=0.5 olduğu sonucunu görürüz. Bu demek oluyor ki, A oyuncusu 2 farklı stratejisini eşit olasılıklarda kullanırsa maksimum kazancını elde eder. Bu kazanç ise yukarıdaki denklemlerin eşit olduğu 2.5’tir.
Bu çözüm yöntemi B’NİN saf stratejisi karşısında A oyuncusunun kazancını hesaplamamıza yardımcı olur. A’nın saf stratejisi karşısında B’nin kazancını hesaplamak istersek satır ve sütunları yer değiştirmemiz gerekir. Ancak unutmamamız gerekir ki A’nın 2.5 kazandığı oyunda, B oyuncusu 2.5 kaybedecektir. Bu durum bulduğumuz sonucun bir nevi sağlamasıdır.
Şimdilik oyun teorisi hakkında söyleyebileceklerim bu kadar. Kararsız kaldığımız durum ya da oyunlarda bize yardımcı olması ümidi ile… 🙂
ADEL BURGAÇOĞLU 